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Matemática Básica – A MATEMÁTICA: UMA CONSTRUÇÃO DA HUMANIDADE

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Matemática Básica – A MATEMÁTICA: UMA CONSTRUÇÃO DA HUMANIDADE

COMPREENDER AMATEMÁTICA COMO CONSTRUÇÃO
HUMANA, RELACIONANDO SEU DESENVOLVIMENTO
COM A TRANSFORMAÇÃO DA SOCIEDADE.

A Matemática e o dia-a-dia
As condições de vida da humanidade se
modificaram ao longo do tempo, com o
desenvolvimento da agricultura, do comércio, da
indústria, do conhecimento e da tecnologia .

E através das conseqüências do avanço em todas
essas áreas.
Apesar de o homem não ter registrado o que fazia
e pensava no início de sua história, ele precisava
resolver problemas de seu dia-a-dia, ligados à sua
subsistência.
Ao buscar soluções para eles, o conhecimento
matemático começou a ser construído.

Desenvolvendo competências

Reflita sobre a seguinte situação:
Se os pescadores e caçadores daquela época trocassem sempre 2 aves por 3 peixes, quantos
peixes deveria ter um pescador para trocar por 22 aves?
Como você resolveria esse problema?

Os homens das cavernas não dispunham
ainda dos registros e técnicas operatórias
atuais para resolver a questão.
O pescador poderia pensar assim: quero
aves, mas só tenho peixes.

Vou agrupar meus peixes de 3 em 3 e para cada grupo
ponho 2 pedrinhas ao lado para representar
as aves, até completar 22 pedrinhas.

Então, conto quantos peixes preciso. São 33 peixes!
Figura 2

O caçador poderia pensar de um modo semelhante,
para resolver o problema, agrupando suas 22 aves
em grupos de 2; agora, as pedrinhas seriam peixes:
3 para cada grupo de aves.

Contanto as pedrinhas, ele descobre que são 33 peixes!
Assim como esse, outros problemas que o homem
tem resolvido em seu cotidiano deram grande
impulso ao conhecimento da humanidade e, em
particular, ao conhecimento matemático.

A Matemática e a linguagem

Tanto o pescador como o caçador pensaram de
um modo até bastante sofisticado. Entretanto,
talvez a estratégia que utilizaram para resolver
a questão da troca já não fosse tão eficiente se
tivessem que decidir quantos peixes trocar por
560 aves!
Com o correr do tempo, o homem passou a
produzir mais e a ter um estoque do que
produzia (superávit), além da necessidade do
consumo próprio e de seu grupo.

Com isso, as idéias e técnicas matemáticas foram se
aperfeiçoando, para poder resolver os
problemas que envolviam grandes quantidades, por exemplo.
É bem possível que você tenha resolvido o
problema dos peixes de um modo mais rápido,
como por exemplo:
Esses símbolos que atualmente combinamos e
usamos de um modo conveniente para registrar a
resolução do problema dos peixes fazem parte de
uma linguagem escrita que foi sendo construída,
à medida que as idéias e conceitos matemáticos
foram sendo descobertos, elaborados e aplicados
pelo homem em outras situações:

é a linguagem matemática.
Essa linguagem, quando é escrita, utiliza símbolos
próprios e universais, o que permite uma
comunicação que ultrapassa fronteiras das
diversas línguas.

Entretanto, quando nos comunicamos oralmente, utilizando essa
linguagem, lançamos mão da língua materna.
Veja um exemplo

Um freguês de uma padaria compra,
todos os dias, leite a R$1,10 o litro e
alguns pãezinhos a R$ 0,20 cada. Como
se pode representar a despesa dessa
pessoa num dia?
A situação acima, descrita em nossa língua
materna, pode ser registrada por meio da
linguagem matemática, que favorece a
representação da despesa desse freguês para
qualquer quantidade de pães que ele compre.
Podemos representar por no número de pães e
por f(n)(lê-se “f de n”) a despesa. Assim, a
despesa pode ser representada pela igualdade:
f (n) = 1,10 + 0,20 . n
Despesa total
Despesa com o leite
Despesa com os pães

O desenvolvimento da Matemática
e os outros campos do conhecimento

Todos sabem que, se você deseja ser um físico ou engenheiro, deveria ser bom em Matemática.
Mais e mais pessoas estão descobrindo que, se desejam trabalhar em certas áreas da Economia ou Biologia, deveriam rever sua Matemática.

A Matemática penetrou na Sociologia, Psicologia, Medicina e Lingüística. Sob o nome de cliometria, está se infiltrando na História, para sobressalto dos mais velhos.
DAVIS, Philip J.; KERSH, Reuben. A experiência matemática. Tradução de João Bosco Pitombeira. Rio de Janeiro: F. Alves,
c 1989. 481p. (Coleção Ciência): The Mathematical experience

Você já viu que o desenvolvimento da Matemática
se deve em grande parte à busca de soluções para
problemas que a humanidade tem enfrentado em
seu dia-a-dia. Apenas para dar alguns exemplos:
• Que chance tenho em ter meu bilhete sorteado
numa loteria de números?
• Como fixar as ripas de meu portão?
• Quantas estampas diferentes posso obter nos
tecidos da tecelagem onde trabalho, se o fundo
pode ser ou azul ou amarelo e o desenho pode
ser de bolinhas brancas ou de listras pretas ou,
ainda, xadrez vermelho?
Questões semelhantes a essa fizeram o homem
pensar nos fenômenos probabilísticos, em
questões geométricas, e nos problemas de
contagem, respectivamente.

Além desses campos específicos da Matemática aos quais eles se
referem, outros mais foram desenvolvidos a partir
de problemas que envolviam números, medidas,
álgebra, ligados à realidade da humanidade.
Entretanto, os outros campos do conhecimento
também têm solicitado respostas da Matemática
para solucionar seus problemas específicos,
contribuindo indiretamente para seu desenvolvimento.
Para citar um exemplo que mostra a Matemática
sendo utilizada em outro campo do conhecimento,

vamos focalizar nosso olhar na Trigonometria,
ramo da Matemática que, até por volta do século
XVII, desenvolveu-se em decorrência de uma
ligação estreita entre a teoria e a prática.
No início de sua criação, a Trigonometria era
um campo da Matemática no qual os ângulos de
um triângulo e as medidas de seus lados eram
relacionados.
As razões trigonométricas apareceram
inicialmente por necessidades da Astronomia,
da Agrimensurae da navegação.
Posteriormente, por volta dos séculos XVI e XVII,
aTrigonometriaesteve a serviço da Física para
descrever e explicar fenômenos periódicos, como
por exemplo:
• o movimento periódico dos planetas, estudado
por Kepler.
• o movimento periódico dos pêndulos, estudado
por Galileu.
• a propagação do som em forma de ondas,
estudada por Newton.
• a propagação da luz em forma de ondas,
estudada por Huyghens.
• a vibração de uma corda de violino, estudada
por Mersenne.

Usando a Matemática para modificar o mundo

A todo momento convivemos com uma grande
quantidade de objetos, fatos e informações de
procedências e naturezas diversas. Por isso,
precisamos compreendê-los, analisá-los,
relacioná-los e, muitas vezes modificá-los, para
tornar melhor a realidade em que vivemos.

Lógica e argumentação:
da prática à Matemática

Argumentação

Você já pensou no que existe em comum entre
uma propaganda de certo produto na televisão,
um artigo do editorial de um jornal e um debate
entre dois políticos?

Essas situações podem parecer bem diferentes, mas, se você analisar com cuidado, verá que, nos três casos, basicamente,
tenta-se convencer uma ou mais pessoas de
determinada idéia ou teoria.
Os criadores do comercial procuram convencer o
público de que aquele produto é melhor do que o
de seus concorrentes.

O jornalista que escreve um artigo defende seu ponto de vista sobre um acontecimento do dia anterior e procura
convencer os leitores de que suas idéias são as
mais corretas.

Já cada um dos políticos tenta mostrar aos eleitores que possui melhores condições de ocupar determinado cargo público
do que seu adversário.
Mas como convencer alguém, ou nós mesmos, de
que determinada idéia é, de fato, correta?

É necessário que sejam apresentados fatos que
justifiquem aquela idéia. Esses fatos são chamados
de argumentos. Eles devem ser bem claros, ter
uma relação lógica entre si, de tal maneira que a
idéia considerada seja uma conseqüência natural
dos argumentos apresentados.
Nem sempre, porém, isso ocorre. Muitas vezes, a
argumentação não é feita de modo consistente e o
resultado é que aquela idéia acaba não sendo
aceita pelas outras pessoas.

 Lógica e argumentação: da prática à Matemática

Tente pensar nesse problema antes de ler a
solução. Uma boa dica é utilizar modelos para
representar as retas como, por exemplo, três
canetas, colocando-as em diferentes posições e
observando se, em alguma delas, uma das
canetas fica perpendicular, ao mesmo tempo, às
outras duas.
Ao tentar resolver esse problema, Carlos não
utilizou modelos: foi fazendo diversos desenhos,
imaginando a situação sugerida no enunciado. No
entanto, depois de desenhar as retas re s
perpendiculares, nunca conseguia uma posição
para a reta t, de tal modo que ela também ficasse
perpendicular a r. Observe alguns desses
desenhos:
Muitos desenhos depois, sempre sem sucesso,
Carlos finalmente concluiu: “Não é possível
obtermos três retas r, se tnas condições do
problema. Os desenhos anteriores comprovam essa
conclusão.”
Ao utilizar apenas desenhos, Carlos não
visualizou todas as situações possíveis para as
retas. Com as canetas, você enxergou
possibilidades diferentes das de Carlos? Você
concorda com o argumento utilizado em sua
conclusão?
Dias depois, olhando uma caixa de sapatos, Carlos
finalmente visualizou uma solução para o
problema: conseguiu enxergar, sobre a caixa, três
retas que se cruzavam em um ponto e eram
perpendiculares entre si!

Se você não encontrou a solução do problema com
as canetas, pegue uma caixa com o mesmo
formato de uma caixa de sapatos e tente
encontrar a solução de Carlos para o problema.

Convivendo com os números

O sistema numérico
Muitos séculos se passaram até que os hindus
desenvolvessem o sistema de numeração decimal.
Por não haver muitos documentos sobre a
Matemática conhecida na Antigüidade, é
impossível saber, comexatidão, quando isso
aconteceu. Estima-se ter sido por volta do século
V d.C.
Os algarismos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9
escolhidos para compor o sistema de numeração
decimal e posicional foram por muito tempo
denominados erroneamente algarismos arábicos,
por terem sido apresentados pelos árabes. Por
volta do século VII, ao entrarem em contato com a
cultura hindu e motivados pela simplicidade e
praticidade do sistema de numeração encontrado,
tornaram-se seus divulgadores em todo o Oriente.
Assim, mais tarde, esses algarismos passaram a ser
conhecidos como hindu–arábicos.
Em toda a Europa, durante muitos séculos, o
sistema numérico usado era o romano e, apesar da
simplicidade do sistema hindu-arábico, houve
muita resistência à sua adesão, que só aconteceu
efetivamente no século XVI.
Outro fato historicamente interessante foi a origem
do número zero. Não há consenso entre os
historiadores sobre a invenção do zero, atribuída
tanto aos povos da Mesopotâmia quanto aos árabes,
hindus e chineses. Arqueólogos identificaram um
símbolo para esse número em tábuas de escrita
cuneiforme de 300 a.C., feitas na Mesopotâmia,
numa época em que a região era dominada pelos
persas. A invenção do zero aumentou a precisão
de todos os cálculos e trouxe um grande
desenvolvimento para a aritmética e a astronomia.
O sistema de numeração hindu–arábico é o que
utilizamos.
Os números fazem parte efetiva do nosso
cotidiano. Estão em toda parte, nos cercam.
Precisamos deles. Abrimos o jornal e nos
deparamos com notícias repletas de números.
Através deles nos expressamos diariamente.
Você já deve ter ouvido frases como estas…
• “Meu tapete mede 2 metros por 3metros.”
• “O maior vírus conhecido mede 0,00025cm.”
• “A parte correspondente a do meu salário é
gasta com despesas mensais fixas.”
• “A catedral fica no marco zeroda cidade.”
• “O diâmetro de uma molécula grande é
0,000017cm.”
• “A temperatura em Nova York era de – 8º Celsius,
enquanto que, no Rio de Janeiro, fazia 30ºC à
sombra.”
• “A cidade Vila Feliz fica no quilômetro 122da
rodovia João Paulo.”
• “O número encontrado foi 0,3111…”
• “Para calcular o comprimento da circunferência,
basta multiplicar o diâmetro por π, cujo valor é
aproximadamente 3,141592.”
• “O resultado foi 0,333….”
• “Era um número diferente: 0,10110111..”
• “Minha casa fica no número 122dessa rua.”
• “Pedro conseguiu ser classificado em 1ºlugar
no vestibular.“
• “Quando dividi 12por 33, encontrei como
resultado 0,1212…”

Espero que tenha gostado,

Um Abraço,

ROGÉRIO SILVA

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About Rogério Silva 9 Articles
Rogério Silva, matemático, técnico contábil, consultor imobiliário.

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